幂函数教案

幂函数教案

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幂函数教案1

　　教学目标：

　　1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；

　　2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；

　　3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．

　　教学重点：

　　常见幂函数的概念、图象和性质；

　　教学难点：

　　幂函数的单调性及其应用．

　　教学方法：

　　采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．

　　问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？

　　二、数学建构

　　1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．

　　2．幂函数＝x 图象的分布与 的关系：

　　对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；

　　若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；

　　若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；

　　对任意的. R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．

　　3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：

　　（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；

　　≤0时，图象过只过定点(1，1)．

　　（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；

　　＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．

　　三、数学运用

　　例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性

　　（1）＝ ； （2）＝ ；（3）＝ ；（4）＝ ．

　　例2 比较下列各题中两个值的大小．

　　（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1

　　（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2

　　例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．

　　练习：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；

　　③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有 （写出所有幂函数的序号）．

　　（2）函数 的定义域是 ．

　　（3）已知函数 ，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；

　　当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；

　　当a＝ 时，f(x)为幂函数．

　　（4）若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为 ．

　　四、要点归纳与方法小结

　　1．幂函数的概念、图象和性质；

　　2．幂值的大小比较方法．

　　五、作业

　　课本P90-2，4，6．

幂函数教案2

　　一、教学内容分析

　　教材地位：幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化、

　　教学重点：幂函数的图像与性质、

　　教学难点：以幂函数为背景的图像变换、

　　二、教学目标设计

　　能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；理解幂函数图像的演进及单调性质；理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。能以幂函数为背景进行基本的函数图像的平移和对称变换、

　　三、教学流程设计

　　设置情境→探索研究→总结提炼

　　→尝试应用→练习回馈→设置评价

　　五、教学过程设计

　　1、情境设置

　　指导学生描画一些典型的幂函数的'图像，回忆并归纳幂函数的性质、

　　2、探索研究

　　问题：如图所示的分别是幂函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数的范围分别确定出来

　　3、总结提炼

　　揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系、师生共同整理出规律性结论、

　　4、尝试应用

　　①（1）研究函数的图像之间的关系；

　　（2）在同一坐标中作上述函数的图像；

　　（3）由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性、

　　②已知函数

　　（1）试求该函数的零点，并作出图像；

　　（2）是否存在自然数，使=1000，若存在，求出；若不存在，请说明理由、

　　③作函数的大致图像、

　　5、练习回馈

　　课本第83页练习4、1（2）

　　六、教学评价设计

　　习题4、1——

　　B组（根据学生具体情况选用）

幂函数教案3

　　教学目标

　　1、使学生掌握的概念，图象和性质。

　　（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

　　（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

　　（3）x能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如x的图象。

　　2、x通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3、通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）x是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

　　（2）x本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数x在x和x时，函数值变化情况的区分。

　　（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

　　教法建议

　　（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是x的样子，不能有一点差异，诸如x，x等都不是。

　　（2）对底数x的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

　　关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

　　教学设计示例

　　课题

　　教学目标

　　1。x理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。

　　2。x通过的图象和性质的学习，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

　　3。x通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。

　　教学重点和难点

　　重点是理解的定义，把握图象和性质。

　　难点是认识底数对函数值影响的认识。

　　教学用具

　　投影仪

　　教学方法

　　启发讨论研究式

　　教学过程

　　一、x引入新课

　　我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数。

　　1、6、（板书）

　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：

　　问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数x与x之间，构成一个函数关系，能写出x与x之间的函数关系式吗？

　　由学生回答：x与x之间的关系式，可以表示为x。

　　问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为x米，试写出x与x之间的函数关系。

　　由学生回答：x。

　　在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。

　　x的概念（板书）

　　1、定义：形如x的函数称为。（板书）

　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明。

　　2、几点说明x（板书）

　　（1）x关于对x的规定：

　　教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若x会有什么问题？如x，此时x，x等在实数范围内相应的函数值不存在。

　　若x对于x都无意义，若x则x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定x且x。

　　（2）关于的定义域x（板书）

　　教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时，x也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的"性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为x。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。

　　（3）关于是否是的`判断（板书）

　　刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。

　　（4）x，x

　　（5）x。

　　学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3）x可以写成x，也是指数图象。

　　最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。

　　3、归纳性质

　　作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。

　　函数

　　1、定义域x：

　　2、值域：

　　3、奇偶性x：既不是奇函数也不是偶函数

　　4、截距：在x轴上没有，在x轴上为1。

　　对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于x轴上方，且与x轴不相交。）

　　在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。

　　此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠近x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。

　　二、图象与性质（板书）

　　1、图象的画法：性质指导下的列表描点法。

　　2、草图：

　　当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且x，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取x为例。

　　此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即x=x与x图象之间关于x轴对称，而此时x的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到x的图象。

　　最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如x的图象一起比较，再找共性）

　　由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：

　　以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。

　　填好后，让学生仿照此例再列一个x的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。

　　3、性质。

　　（1）无论x为何值，x都有定义域为x，值域为x，都过点x。

　　（2）x时，x在定义域内为增函数，x时，x为减函数。

　　（3）x时，x，x x时，x。

　　总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。

　　三、简单应用x （板书）

　　1、利用单调性比大小。x（板书）

　　一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。

　　例1、x比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x;

　　（3）x与1x。（板书）

　　首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。

　　解：x在x上是增函数，且

　　教师最后再强调过程必须写清三句话：

　　（1）x构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。

　　（2）x自变量的大小比较。

　　（3）x函数值的大小比较。

　　后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。

　　例2。比较下列各组数的大小

　　（1）x与x;x（2）x与x ;

　　（3）x与x。（板书）

　　先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说x可以写成x，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说x可以写成x，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）

　　最后由学生说出x>1，<1。

　　解决后由教师小结比较大小的方法

　　（1）x构造函数的方法：x数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）

　　（2）x搭桥比较法：x用特殊的数1或0。

　　四、巩固练习

　　练习：比较下列各组数的大小（板书）

　　（1）x与x x（2）x与x;

　　（3）x与x;x（4）x与x。解答过程略

　　五、小结

　　1、的概念

　　2、的图象和性质

　　3、简单应用

　　六、板书设计

幂函数教案4

　　一、教材分析

　　幂函数是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质(定义域、值域、图像、奇偶性、单调性)研究一个函数的意识。因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。从概念到图象( )，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。

　　二、教学目标分析

　　依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

　　[知识与技能] 使学生了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质，初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。

　　[过程与方法] 引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法;通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣;对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力;运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。

　　[情感、态度与价值观] 通过生活实例引出幂函数概念，使学生体会生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。通过本节课的学习，使学生进一步加深研究函数的规律和方法;提高学生的学习能力;养成积极主动，勇于探索，不断创新的'学习习惯和品质;树立学科学，爱科学，用科学的精神。

　　三、重、难点分析

　　[教学重点]

　　(1)幂函数的定义与性质;

　　(2)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)的影响。从知识体系看，前面有指数函数与对数函数的学习，后面有其他函数的研究，本节课的学习具有承上启下的作用;就知识特点而言，蕴涵丰富的数学思想方法;就能力培养来说，通过学生对幂函数性质的归纳，可培养学生类比、归纳概括能力，运用数学语言交流表达的能力。

　　[教学难点]

　　(1)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响。

　　(2)数形结合解决大小比较以及求参数的问题。从学生认知发展看，他们具备一定的学习新函数的能力，可以通过学习指数函数与对数函数的方法来类比，但毕竟幂函数在三种初等函数中是最难的，因为它分类的情况很多，且性质多而复杂，我采用让学生自己利用计算机作出函数的图像，从中归纳性质的方法来突破难点。

　　四、学情与教法分析

　　1. 学情分析

　　从学生思维特点来和认知结构看，前面学生已经学习指数函数与对数函数，对新函数的学习已经有了一定的经验。一方面可以把本节课与前面的指数函数与对数函数进行类比学习，但另一方面本节课分类情况多，性质归纳困难，尤其是三个函数放在一起可能产生混淆。对进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

　　2. 教法分析

　　学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

　　3.教学构想

　　新课标的要求是通过实例，了解y=x， ， ， ， 的图像，了解它们的变化情况。而原数学教学大纲要求掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考查掌握函数性质和运用性质解决问题时，所涉及的幂函数f(x)=xα中 α限于在集合{-2,-1,-,,,1,2,3}中取值。新课标无论从内容的容量和难度上都要远低于旧课标。而苏教版的教材严格按照新课标要求处理此部分内容，内容体系均未超出课标要求。所以我们应以新课标为准绳，控制难度与要求。由于本节课的难点在于指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)性态的影响，本身幂函数比较抽象，所以我采用在多媒体教室让学生用Excel来模拟得到图象，再从图象上观察、归纳函数的性质。从心理学上讲，自己经历知识的发生发展过程，印象更深刻，学生容易接受与理解。

　　五、教具准备

　　教师准备教科书、多媒体课件，在计算机教室。

　　六、教学过程

幂函数教案5

　　教学目标

　　1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．

　　2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．

　　3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．

　　教学重点与难点

　　教学重点：函数单调性的概念．

　　教学难点：函数单调性的判定．

　　教学过程设计

　　一、引入新课

　　师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

　　（用投影幻灯给出两组函数的图象．）

　　第一组：

　　第二组：

　　生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．

　　师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．

　　（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）

　　二、对概念的分析

　　（板书课题：）

　　师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．

　　（学生朗读．）

　　师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

　　生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．

　　师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

　　（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）

　　师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．

　　（指图说明．）

　　师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．

　　（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

　　师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

　　（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）

　　生：较大的函数值的函数．

　　师：那么减函数呢？

　　生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．

　　（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）

　　师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

　　（学生思索．）

　　学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

　　（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

　　生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

　　师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

　　生：不能．因为此时函数值是一个数．

　　师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

　　生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．

　　（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）

　　师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

　　师：还有没有其他的关键词语？

　　生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．

　　师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

　　（学生不一定能答全，教师应给予必要的'提示．）

　　师：“属于”是什么意思？

　　生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

　　师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

　　生：可以．

　　师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

　　生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

　　师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

　　（让学生思考片刻．）

　　生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．

　　师：那么如何来说明“都有”呢？

　　生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．

　　师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．

　　（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

　　师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

　　（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

　　三、概念的应用

　　例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

　　（用投影幻灯给出图象．）

　　生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

　　生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

　　师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．

　　例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

　　师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

　　（指出用定义证明的必要性．）

　　师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

　　（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

　　师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

　　生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

　　f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

　　所以f（x）是增函数．

　　师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

　　这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．

　　（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

　　调函数吗？并用定义证明你的结论．

　　师：你的结论是什么呢？

　　上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

　　生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．

　　生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

　　域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

　　上是减函数．

　　（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：

　　（1）分式问题化简方法一般是通分．

　　（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．

　　要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

　　对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

　　四、课堂小结

　　师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？

　　（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

　　生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．

　　五、作业

　　1．课本P53练习第1，2，3，4题．

　　数．

　　=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

　　=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

　　+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

　　课堂教学设计说明

　　是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

　　另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

　　还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．

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